INECUACIONES

 

Inecuaciones de primer grado

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. En ella aparecen los signos  (menor que), (menor o igual que), (mayor que) o (mayor o igual que).

Para una desigualdad pueden existir varias soluciones. Por ejemplo para la inecuación , existen varias soluciones como X = 1, X = 1’5, X = 2 …..Todas ellas verifican la desigualdad.

 

El conjunto de todas las soluciones se llama solución general o conjunto solución.

 

La resolución de inecuaciones se realiza de manera similar  a la de ecuaciones, salvo en el caso en que se multiplique o divida a ambos lados de la desigualdad por un número negativo, en cuyo caso la inecuación resultante tiene sentido contrario a la inicial.

Ejemplo: vamos a resolver

Quitamos los denominadores multiplicando por 12

Ordenamos la inecuación

Para despejar la X tenemos que dividir los dos miembros por -17, número negativo. Al hacerlo debemos cambiar el sentido de  la desigualdad.

La solución es el conjunto de números reales menores que 8. (el 8 no esta incluido)

 

Otro ejemplo:

Pueden ocurrir dos casos:

1-que numerador y denominador sean positivos

x – 4 >0    y    x +1 >0, es decir deben cumpliesen estas dos condiciones:

x >  4     y     x > -1

la intersección de ambos es   x > 4   que es la solución, ya que x > 4 son tambien los números  x >-1

 

2-que numerador y denominador sean negativos

deben cumplir estas dos condiciones x – 4 <0    y    x +1 <0

es decir deben cumplir x <  4     y     x < -1

la intersección de ambos es x < -1 ya que todos los números x < -1 son también menores que 4

 

 

Inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Una inecuación lineal con dos incógnitas x e y  es una desigualdad algebraica que puede expresarse  de las siguientes formas:

 

El conjunto de una inecuación lineal con dos incógnitas es uno de los dos semiplanos en los que se divide al plano de la recta de la ecuación asociada a ella.

 

Ejemplo: Sea la inecuación con dos incógnitas:

Primero representamos la ecuación asociada a la inecuación, resultante de sustituir el signo > por el signo =:

Segundo: consideramos los semiplanos derecho e izquierdo (a cada lado de la recta. Para determinar cual de  los dos semiplanos es la solución, probamos con puntos como en la grafica siguiente:

Los puntos (2,5)  (2,6)  (2,7) son del plano derecho y todos ellos cumplen la inecuación inicial. Luego el plano derecho es la solución al problema.

Si la inecuación fuera  la solución también incluiría todos los puntos de la recta.

 

Sistemas de inecuaciones lineales

Un sistema de inecuaciones lineales es un conjunto de dos o más inecuaciones de primer grado.

 

Sistema de Inecuación lineal de 1 incógnita:

 

-Despejamos x de la primera inecuación:

-Despejamos x de la segunda inecuación:

La solución al sistema es la intersección de los conjuntos:

 

es decir

 

Sistema de inecuación lineal de 2 incógnitas

Representamos las dos igualdades o rectas

La solución es la zona del plano rayada doblemente, es decir la intersección de los dos planos. Las rectas no están incluidas.