LOGARITMOS

 

Definición

Que número verifica la potencia de ?

La solución de esta ecuación  es:

El valor decimal de este número es 

 

El logaritmo en base a () de un número A, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener A.

 

Cálculo de logaritmos

Vamos a calcular

La siguiente tabla indica el proceso válido para cualquier logaritmo:

 

Intervalos de potencias

Intervalos numéricos

Intervalos    logarítmicos

 

El error en cada caso viene dado por la diferencia entre el valor por exceso y el valor por defecto. En el cuarto paso hay dos decimales correctos.

 

La sucesión de los intervalos encajados

 determinan el numero real

 

Los Logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales. Se designan por

Los logaritmos en base  (numero e) se llaman logaritmos neperianos. Se designan por

 

El logaritmo de 1 es 0 ya que

El logaritmo de la base es 1, ya que

Solo tienen logaritmos los números positivos, ya que

 

Operaciones con logaritmos

Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

La demostración es la siguiente:

Si comparamos los resultados, los exponentes debes ser iguales, luego:

Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor

La demostración es la siguiente:

Si comparamos los resultados, los exponentes debes ser iguales, luego:

 

Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base

La demostración es la siguiente:

Luego si igualamos los dos resultados comprobamos que los exponentes deben ser iguales, quedando:

Cambio de Base

Para el cambio de base de un logaritmo debemos aplicar la siguiente formula

Vamos a demostrarla

Paso 1:

            

Paso 2: deducimos por lo tanto que

Paso 3: En la 1ª ecuación del paso 1 sustituimos la X por su valor

y también sustituimos X por su otro valor , quedando

Paso 4: ahora tenemos que

 y vamos simplificando

En el numerador sustituimos por su valor 1

ahora sustituimos A y B por los valores obtenidos en el paso 1

 

Los logaritmos de cualquier base se pueden obtener a partir de los logaritmos decimales o neperianos que traen las calculadoras, aplicando la formula anterior