NUMEROS REALES R

Es el conjunto formado por los números Racionales y los Irracionales.

 

1-Números Racionales Q

Un número racional es una fracción y todos sus equivalentes

 

Es el conjunto de todos los números naturales, los enteros y las fracciones es el conjunto de los números racionales

Una Fracción es un par de números enteros a y b de la forma, con

Donde a es el numerador, b es el denominador.

 

Todo numero entero lo podemos expresar como una fracción de denominador 1 y todas sus equivalentes. Ejemplo:

 

Fracciones Equivalentes

Dos fracciones  y son equivalentes si a .d = b . c

Así las fracciones y son equivalentes y se escribe

Para obtener fracciones equivalentes a una dada multiplicaremos o dividiremos al numerador y al denominador por un mismo número entero distinto de cero

Fracciones equivalentes a  serán….

Fracciones equivalentes a  serán…. La fracción no se puede simplificar, diremos que es una fracción irreducible.

                                                                                                                                          

 

Operaciones con Fracciones:

Suma (resta) de fracciones: se buscan fracciones equivalentes a ambas que tengan el mismo denominador y después se suman o se restan los numeradores.

Ejemplo:

Una forma de hacer fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador es multiplicar una fracción (numerador y denominador) por el denominador de la otra y viceversa. Ejemplo

que si lo simplificamos da

Multiplicar Fracciones: se multiplican los numeradores y los denominadores entres si.

Dividir Fracciones: se multiplica la primera por la inversa de la segunda.

 

Expresión decimal de una Fracción

Par expresar en forma decimal una fracción basta con dividir el numerador entre el denominador, pudiéndose dar los siguientes casos:

-         Decimal Exacto o Decimal Limitado: la división es exacta como ocurre con ¾=0’75. El numero decimal tiene un número limitado de cifras.

-         Decimal Periódico o Decimal Ilimitado: La división no es exacta como ocurre con 14/11= 1.2727… El número decimal tiene un número ilimitado de cifras decimales; es un número decimal periódico. El periodo es el grupo de cifras que se repite indefinidamente, en este caso el 27, y se representa así: . Todo numero entero o decimal exacto se puede escribir  de forma periódica, por ejemplo: 3-3’000… 2’52=2’52000

Por lo tanto todo número racional se puede expresar con un número decimal periódico.

 

Expresión Fraccionaria de un numero decimal

Vamos a calcular la fracción generatriz de un decimal.

·        Decimal Exacto

Lo escribimos como fracción decimal y simplificamos. Ejemplo:

·        Decimal Periódico Puro

Un numero decimal es periódico puro cuando el periodo comienza a partir de la coma. Por ejemplo: 1’2727… se escribe así:

Su fracción generatriz se calcula así:

-Hacemos

-Multiplicamos por 100 para obtener otro decimal con el mismo periodo:

-Restamos las dos igualdades y despejamos x:

 

·        Decimal Periódico Mixto

Un número decimal es periódico mixto si el periodo no comienza a partir de la coma, por ejemplo: 1’16666… se escriba así:

Su fracción generatriz se calcula así:

-Hacemos

-Multiplicamos el decimal inicial  por 10, 100, 1000….  para correr la coma hasta el comienzo del primer bloque periódico:

-Multiplicamos el decimal inicial por 10, 100, 1000…. para obtener correr la coma hasta el comienzo del segundo bloque periódico:

-Restamos las dos igualdades y despejamos x:

Todo número decimal periódico se puede expresar como una fracción. El conjunto de los números racionales y el de los números decimales periódicos coinciden.

 

2-Números Irracionales I

Los números que vienen dados por una expresión decimal no periódica se llaman números irracionales.

 

Los números irracionales no pueden expresarse en forma fraccionaria ya que no son periódicos.

 

Existen números decimales ilimitados no periódicos, por ejemplo: 0’10100100010000…… o 0’12233445566778899………, es decir que en su parte decimal no se repite grupo alguno de cifras, por lo que no son periódicos y por lo tanto no son números racionales.

 

Los números decimales ilimitados no periódicos se llaman números irracionales y se representan mediante la letra I.

 

Uno de los números irracionales mas conocidos es , este número irracional fue descubierto al tratar de calcular la diagonal de un cuadrado de lado la unidad.

La representación gráfica de  es la siguiente

 

 

Otro número irracional importante es , que es la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro. El número  no se puede representar gráficamente como muchos otros.

 

Para calcular la  gráficamente construimos un triangulo rectángulo de catetos  y 1

 

Suma de números irracionales

Pongamos por ejemplo

1- Si no se pide ninguna aproximación debe dejarse la operación indicada

2- Si se pide una aproximación se debe indicar cual y luego se usa la misma para ambos números:

 

 

Error

Por defecto

1’4142

3’1415

4’5557

0’0002

Por exceso

1’4143

3’1416

4’5559

 

 

 

 

Por tanto

El error máximo viene dado por la diferencia entre la suma por exceso y la suma por defecto.

Dando el resultado por defecto se tiene:

por tanto son correctas las tres primeras cifras decimales (la cuarta es una aproximación)

Las cifras decimales correctas son tantas como ceros hay en el error después de la coma hasta la primera cifra distinta de 0 (en el resultado por defecto)

 

Producto  de números irracionales

La siguiente tabla muestra los resultados por defecto y por exceso del producto de estos números:

 

 

Error

Por defecto

1’4142

3’1415

4’44270930

0’00045558

Por exceso

1’4143

3’1416

4’44316488

 

 

 

Por tanto:

El error máximo viene dado por la diferencia entre el producto por exceso y el producto por defecto.

El resultado por defecto será:

Cifras decimales correctas las 3 primeras, tantas como ceros hay en el error máximo hasta la primera cifra decimal distinta de cero

3-La Recta Real

La recta Real se forma a partiendo  de la Recta Racional:

Entre dos números racionales hay infinitos números racionales (se dice que el conjunto Q es denso), aún asi existen huecos entre ellos que quedan sin llenar en la recta racional. Estos huecos son los correspondientes a los números irracionales.

 

Por lo tanto la Recta Real quedaría así:

a cada punto en la recta real le corresponde un único numero real que se llama abcisa del punto. Por ejemplo, la abcisa del punto L  es y la de M es

 

3-Orden en R

Dados dos números reales  a y b, se dice que

Los intervalos numéricos en R son conjuntos de números reales y se representan mediante un segmento con o sin extremos. Y Pueden ser:

·        Intervalo abierto (a,b). Esta formado por los números reales x comprendidos entre a y b, excluidos ambos. Se expresa así:

 

·        Intervalo cerrado [a,b].  Esta formado por los números reales x comprendidos entre a y b incluidos ambos. Se expresa así: .

 

 

·        Intervalo  abierto a la derecha [a,b).  Se expresa así

 

·        Intervalo abierto a la izquierda (a,b].  Se expresa así:

 

Los intervalos no acotados se representan mediante una semirrecta. Observa a continuación los intervalos

           

Propiedades de los números reales

El conjunto de los números reales con la suma y el producto se dice que es un cuerpo conmutativo porque cumplen las siguientes propiedades:

 

SUMA DE NÚMEROS REALES

Asociativa

Conmutativa

Elemento Neutro

Numero opuesto de a es –a

PRODUCTO DE NUMEROS REALES

Asociativa

Conmutativa

Elemento Neutro

Numero inverso

PRODUCTO Y SUMA DE NUMEROS REALES

Distributiva

 

4-Valor Absoluto

El valor absoluto de un numero real a, , indica la distancia de ese numero al punto de origen O. Si ese numero es positivo o cero, su valor absoluto es él mismo. Si es negativo, su valor absoluto es su opuesto.

Ejemplo: el valor absoluto de 4 y de -4 es el mismo:  

Podemos usar el valor absoluto para expresar los intervalos. Ejemplos:

El intervalo (-2,2) se puede expresar así  o así

El intervalo  se puede expresar por  o por

 

5- Aproximaciones y estimaciones

Para trabajar con números decimales periódicos e irracionales, es necesario tomar aproximaciones.

Por ejemplo:

El valor de  es 1’414213562

Este numero esta comprendido entre el 1’41 y el 1’42

Aproximación por defecto seria el 1’41

Aproximación por exceso seria el 1’42

 

Aproximaciones de un número irracional.

Ejemplo: vamos a calcular una aproximación a l número

 

1-Se eligen números enteros cuyo cuadrado supere el 2: resultado el 2, luego

 es decir el valor de  esta entre 1 y 2

 

2-Se eligen números entre 1 y 2 con 1 decimal cuyo cuadrado supere a

 

3-Se eligen números entre 1’4 y 1’5 con dos decimales que superen

4-Así sucesivamente

 

Mediante este proceso podemos calcular otros como

 

 

 

Con las aproximaciones podemos expresar los intervalos (2,3), (2’4, 2’5) y (2’44,2’45). Todos ellos contienen a  , sus longitudes son cada vez menores y cada uno está incluido en el anterior.

 

Todo número irracional se puede expresar mediante dos secuencias de números decimales que son aproximaciones que se acercan, cada vez más, a su valor exacto.

 

 

6- Redondeo y Truncamiento

Redondeo: Redondear un numero decimal hasta un orden n (décimas centésimas,…..), se ponen las cifras anteriores a ese orden.

La cifra del orden n se deja como esta si la cifra que sigue es menor que 5

La cifra del orden n se le añade 1 mas si la cifra que sigue es mayor o igual a 5.

 

Truncamiento: Para truncar un numero basta con escribir las cifras del numero hasta la del dicho orden inclusive, eliminando las demás.

 

 

Redondeo a las centésimas

Trucado a las centésimas

4’635

4’64

4’63

3’58

3’57

1’73

1’73

 

7-Error Absoluto

El error absoluto de una aproximación o estimación es la diferencia en positivo (valor absoluto) entre un número dado y una aproximación al mismo.

1’85 es un redondeo a las centésimas del número 1’847.  

Por tanto 1’847-1’85 = 0’0030 = error absoluto

1’84 es un truncamiento a las centésimas del número 1’847. Por tanto:

1’847-1’84=0’007 = error absoluto

Como 0’003 es menor que 0’007 deducimos que el redondeo 1’85 es más preciso que el segundo, es decir su error absoluto es menor.

 

8-Cota de Error

En un numero racional, siempre se puede calcular el error absoluto, mientras que si es un numero irracional (tiene infinitas cifras no periódicas) no es posible.

Ejemplo:

Numero racional: 1’897, sus aproximaciones serán:

El error absoluto de la aproximación 1’8 seria:

Número irracional: = 2’23608…., sus aproximaciones serán:

El error absoluto de 2’2 sería :  que no es posible obtenerlo porque  tiene infinitas cifras no periódicas.

 

En ambos casos podemos calcular la Cota de Error:

El error absoluto es siempre menor que la amplitud del intervalo (diferencia entre los extremos):

La amplitud del intervalo (1’8, 1’9) es 1’9-1’8 = 0’1, luego su error absoluto de 1’8 es  

 

La amplitud del intervalo (2’2, 2’3) es 2’3-2’2 = 0’1, luego su error absoluto

El error absoluto 2’2 como aproximación a  es menor que la amplitud del intervalo ( 0’1), es decir .

 

Se llama cota o margen de error al error absoluto máximo posible de una aproximación.

 

9- Error Relativo

Error relativo de una aproximación o estimación es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Se suele expresar en tanto por cien.

 

 

Una aproximación a 230.000 seria 200.000 El error absoluto seria 230.000-200.000=30.000, y su error relativo:

Una aproximación a 130.000 seria 100.000 El error absoluto seria 130.000-100.000=30.000, y su error relativo: