ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

 

Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita X es una igualdad de la forma , con a, b, c son constantes y .

Las soluciones a la ecuación son los valores de x que hacen cierta la igualdad.

 

Ejemplo: La edad de Eva es tal que sumada a su cuadrado da 210 años ¿Cuántos años tiene Eva?

Si x = edad de Eva, el problema se traduce a la ecuación siguiente:

Los valores de X que hacen cierta la ecuación son 14 y -15.

El valor x = -15 es solución a la ecuación pero no al problema, dado que la edad de Eva no puede ser negativa.

 

Ecuación Completa: se dice que una ecuación de segundo grado del tipo  es completa cuando los coeficientes b y c  son distintos de 0.

Ecuación Incompleta: se dice que una ecuación de segundo grado del tipo  es incompleta cuando alguno de los coeficientes b y c  son iguales a  0. Los tipos de ecuaciones incompletas  son:           

 

Resolución de Ecuaciones de 2 Grado Incompletas

- Tipo

Solo tienen una única solución luego

 

-Tipo . Dos soluciones:

Sacamos factor común x quedando así:

 

de donde se deduce que  o que

por lo tanto las soluciones serán

y      

 

-Tipo

Si C > 0, entonces  es un numero negativo y no es posible su raíz(no tiene solución)

Si C < 0, entonces sus dos  soluciones son

 

Método de completar cuadrados

Primer caso. Si el coeficiente de  es 1

Ejemplo:  o

- Dividimos el coeficiente de x entre 2    6:2=3 y como sabemos que.

si a la ecuación inicial sumamos 9 a cada lado, obtenemos:

vemos como el lado izquierdo de la ecuación lo podemos sustituir asi:

Extremos la raíz cuadrada a los dos miembros de la ecuación:

Segundo Caso. El coeficiente de  es distinto de 1

Resolvamos la ecuación:

Dividimos los dos miembros por 2

Sabemos que  

Sumamos en nuestra ecuación

Ahora sustituimos por el cuadrado de la diferencia

 

Formula de la Ecuación de Segundo Grado

Las soluciones (si existen) de una ecuación de segundo grado completa de la forma , son

Se llama discriminante al radicando 

Vamos a resolver la ecuación

luego sus dos soluciones son

Según el valor que tome el discriminante, se pueden dar 3 casos:

-Discriminante Positivo:

  Existirán 2 soluciones. La raíz cuadrada de un número tiene dos soluciones

-Discriminante Nulo

  Solo existirá una sola solución.

-Discriminante Negativo

  No tiene solución, dado que la raíz cuadrada de un numero negativo no existe

 

Demostración de la Formula de segundo Grado