POTENCIAS Y RADICALES

Consideraciones Generales:

Una Potencia  de base un numero real a, y exponente un numero natural n, es un producto de n factores igualas a la base

Signo de Potencia

·        Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva

·        Si la base es negativa:

o       Exponente par, la potencia es positiva

o       Exponente impar, la potencia es negativa

 

Multiplicación de potencias con la misma base

Si multiplicamos potencias con la misma base, nos da como resultado una potencia con la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes

División de potencias con la misma base

Si dividimos potencias de la misma base, nos da como resultado una potencia con la misma base cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

Potencia de una Potencia

Para calcular la potencia de una potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes

Producto de potencias con el mismo exponente

Si multiplicamos dos potencias con distinta base y exponentes iguales, nos da como resultado una potencia cuya base es el producto de las bases y cuyo exponente es el mismo exponente.

Cociente de potencias con el mismo exponente

Si dividimos dos potencias con distinta base y exponentes iguales, nos da como resultado una potencia cuya base es el cociente de las bases y cuyo exponente es el mismo exponente.

 

Cuadrado de una suma:

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, mas el doble del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo.

Cuadrado de una Diferencia:

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo.

Suma por diferencia:

El producto de suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados

1-Potencias de exponente entero

 

Potencia de exponente 0: Toda potencia de exponente 0 es igual a la Unidad.

 

Potencia de exponente 1: Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.

 

Potencia de exponente negativo:

Toda potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma potencia con exponente positivo

2-Potencias de exponente fraccionario:

Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical en el que el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente del radicando:

 

3-Potencias de exponente irracional:

Como se calcula ?

La siguiente tabla indica el proceso valido para cualquier potencia:

 

El error viene determinado por la diferencia entre el valor por exceso y el valor por defecto. En el cuarto paso hay dos decimales correctos

Al aumentar el numero de cifras de , el error que se comete es cada vez mas pequeño y se aproxima a 0.

Por lo tanto el número real  viene determinado por la sucesión de los intervalos siguientes los cuales unos van incluidos dentro de otros, es decir intervalos encajados:

 

4-Notación Científica

Potencias de base 10

Un número entero o decimal se puede escribir con ayuda de las potencias de base 10. Ejemplos:

Enteros:

Decimales

Expresión Polinómica: Todo numero entero o decimal se puede escribir como suma de los productos de sus cifras por potencias de 10. Ejemplo

 

 

Notación Científica

La notación científica, en la que se usan las potencias de 10, se utiliza para expresar números muy grandes y muy pequeños.

 

La expresión de un número en notación científica es un producto de la forma , siendo a un número mayor o igual que 1 y menor que 10 y k un número entero.

 

Ejemplo: 1.080.706.000.000.000.000.000 vamos a expresarlo en Notación Científica:

1.080.706.000.000.000.000.000 =

Ahora hay que conseguir que la parte entera sea de una sola cifra mayor o igual a 1 y menor que 10:

por lo tanto quedara de la siguiente manera:

1.080.706.000.000.000.000.000=

 

El numero total de cifras de  es igual al exponente de la potencia de 10 mas 1, luego el numero tendrá 21+1=22 cifras.

Ejemplos de notación científica:

 

5-Operaciones con Notación Científica

 

Suma y Resta

Si el Orden de Magnitud  es el mismo en los dos sumandos, se suman los números que preceden a la potencia de 10:

 

Si el Orden de Magnitud es distinto, se reducirá al mayor de los órdenes. Ejemplo:

 

La resta en notación científica sigue las mismas normas que la suma.

 

Multiplicación y División

Para multiplicar dos números en notación científica multiplicamos los números que preceden a las potencias de 10 y también dichas potencias. No hace falta reducir a orden común.

 

Para Dividir, el proceso consiste en dividir los números y las potencias de 10

 

6-Radicales

Radicación es la operación inversa a la potenciación.

Llamamos raíz n-ésima de un número dado al número que al elevarlo a n nos da el primero.

La expresión  es un radical de índice n: el número n es el índice del radical y el número a es el radicando.

Potencias de exponente fraccionario:

Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical en el que el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente del radicando:

 

Operaciones con radicales:

 

Multiplicar: para multiplicar radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se multiplican los radicandos.

Dividir: Para dividir radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se dividen los radicandos.

Potencia de un Radical:

Para elevar un radical a una potencia, se eleva el radicando a dicha potencia.

Radical de un Radical:

Para hallar el radical de otro radical se multiplican los índices de ambos.

Para Reducir a común índice:

Si se multiplica o divide el indice del radical y el exponente del radicando por un número natural, se obtiene un radical igual:

 

7-Radicales equivalentes. Racionalización

 

Amplificación y simplificación de radicales

Sin se multiplican (amplifican) o dividen (simplifican) el índice y el exponente de un radical por un mismo número no nulo, el radical que se obtiene es equivalente al primero.

 

Los radicales son equivalentes porque los exponentes de las potencias asociadas son fracciones equivalentes.

 

Reducción a índice común.

Reducir a índice común varios radicales consiste en reducir a común denominador las fracciones exponentes de su expresión como potencia. Ejemplo:

 

Racionalizacion:

Racionalizar una expresión con radicales en el denominador, por ejemplo , consiste en encontrar una expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Pare ello se multiplica el numerador y denominador por una expresión adecuada, en este caso multiplicamos y dividimos por :